Certains objets de la vie courante peuvent un jour, sans raison particulière et surtout sans prévenir, nous inspirer tout d'un coup de profondes réflexions. Nous voila alors contraints à explorer toutes les voies qu'ouvre notre logique afin de trouver des réponses aux angoissantes questions qui se présentent à nous. Ainsi, un simple rouleau de papier toilette a un jour provoqué l'échange de mails suivant entre les membres du site sans nom :
Alors voila, tout à l'heure en allant aux chiottes je réfléchissais à la quantité de papier que contenait un rouleau de papier cul. Je me disais que, contrairement aux denrées alimentaires dont le prix est également indiqué au kilo, il ne me semble pas que le prix du mètre linéaire de PQ soit indiqué, et que donc la diminution de la longueur de PQ sur un rouleau est une feinte facile pour entuber le consommateur. Et de là, j'ai cogité sur la façon dont est construit un rouleau de PQ. Ca soulève un grave problème mathématique. C'est pourquoi je fais appel à nos deux ingénieurs pour en venir à bout.
Voilà le problème : On considère un papier cul d'une longueur linéaire l et d'une épaisseur e. On l'enroule autour d'un cylindre de carton d'un rayon r. Comment savoir combien de tours on fera autour du cylindre EXACTEMENT? Le problème peut sembler trivial à priori, mais ne vous y trompez pas. A chaque tour, on a embobiné une couche de papier cul en plus, le rayon du cylindre a donc augmenté de e. Et donc, on ne peut pas dire qu'on a fait un tour tous les n centimères, vu que le rayon changeant à chaque tour, le périmètre du rouleau aussi, h&h&. Donc, j'espère que l'un d'entre vous a une idée pour calculer la fonction t(l) donnant le nombre de tours autour du cylindre en carton en fonction de la longueur linéaire de papier cul.
Vous allez me dire (si toutefois vous arrivez à
résoudre ce problème) : Mouahaha, ça c'est
bien les techs! Même pas foutus de calculer ça! Et ils
vont faire comment pour savoir? Dérouler le PQ et mesurer?
Je vous répondrais, messieurs, que le papier cul conçu
par des techs aurait tout simplement été plié en
accordéon.
Bon, ok, vu que les ingés ils trouvent pas la solution, je vais exposer le fruit de mes réflexions mathématiques :
Soient :La relation mathématique liant toutes ces variables, en considérant qu'au cours de d'enroulement du PQ autour du tube, le rayon total r du tube+PQ grandit progressivement de e*n, c'est à dire que le rayon total est fonction de n, r = R + e*n (ce qui est une approximation, puisqu'en réalité il augmente brutalement de e à chaque tour), est alors un polynôme du second degré :
L = 2.pi.e.n² + 2.pi.R.nTrouver le nombre de tours n, connaissant la lonqueur totale de PQ L et son épaisseur e revient donc à résoudre ce polynôme (calcul du discriminant et des racines).
Je vous laisse, messieurs les ingénieurs, le soin de démontrer la validité de cette formule, et de la résoudre ; mais également de montrer l'intérêt pratique d'un tel outil analytique.
A+, GéomanSinon je suis tout à fait d'accord avec l'analyse de l'hydrogéologue concernant la mise en équation, il ne reste maintenant plus qu'à affiner cette premiere approx, afin de proposer une solution avec une précision améliorée...
A+, LunatiXSalut za tousse.
Bon, je me dois d'intervenir dans le débat pour relever la
mayonnaise :) En effet, la démonstration mathématique
précedente était intéressante, mais elle
s'avère mal à propos, car il était demandé
de, je cite: Calculer la fonction t(l) donnant
le nombre de tours autour du cylindre en carton en fonction de la
longueur linéaire de papier cul
. Jusque là, je
remarque qu'il n'y a aucune contestation. (Pourvu que çà
dure). Bon, bon, bon, ...
Passons aux choses sérieuses. Parce que je dois dire que la démonstration précédente, que je qualifierai de suscinte, cherche à dire que L la longueur totale de papier cul est égale à 2.pi.e.n² + 2.pi.R.n , où e est l'épaisseur du PQ, R le rayon du carton et n le nombre de tours. Jusque là AUSSI, tout le monde paraît d'accord. (Ouais, ouais, putain, trop de la balle)
Et bien, cette magnifique suite de lettres et de chiffres ne répond pas à la question. Et oui mes amis, je vous le dis!! En effet, il est demandé une fonction qui permette de trouver le nombre de tours de PQ dans un rouleau de PQ en fonction de la longueur de ce dernier. (Suivez bien au fond, j'en vois qui dorment!!). Et bien ici, nous avons la longueur totale de PQ en fonction du nombre de tours. Ce qui, je dois dire, n'est, somme toute, pas très commode à calculer. Je vous imagine mal compter le nombre de tours qu'il y a sur vos rouleaux pour en déduire la longueur totale. Je ne vois qu'une seule explication à cette dévience de trajectoire: l'ALCOOL!! Oui mes amis, il est fort possible que dans un élan de joyeuse ivresse notre compagnon d'infortune se soit égaré du droit chemin. Aucun blâme ne peut être fait à cette encontre. Chacun au fond de lui a ce petit côté d'allégresse buccolique qui nous pousse sur des pentes savonneuses, mais pas assez loin tout de même pour se latter la gueule dans le caniveau.
Sur ce, je me dois d'émettre une proposition de réponse qui, je dois l'avouer, m'a été insufflée par un liquide gazeux aux relents d'amertume appelé plus communément p'tite binouze. Ceci ne gâche en rien la beauté de la réflexion, celà va de soit. (Levez la main ce qui suivent encore! ... Hum ... On est pas dans la merde ...).
Soit L la longueur totale du rouleau de PQ, E son épaisseur, R le rayon du carton et X le rayon total. Toutes ces grandeurs sont dans la même unité de longueur. L'inconnu à demasquer tout au long de cette enquête sera, bien sur, interprété par N, notre nombre de tours de PQ préféré. (Suivez bien les enfants, çà va dépoter!!!). Nous allons étudier ce problème en l'assimilant à une suite arythmétique. (Et oui, les bons vieux gros mots d'autrefois.)
Si L=0, alors N=0. (Ouf, jusque là je m'en sors pas trop mal)
Au premier tour, X=R+E et L=2.pi.RCe qui veut dire que, au premier tour, le rayon total du rouleau est égal au rayon du carton plus l'épaisseur du papier. Et la longueur de PQ est égale au périmètre du rouleau de carton.
Au deuxième tour, X=R+2E et L=2.pi.(R+E)Donc L=2.pi.(R+(N-1)E) car X(n-1)=R+(N-1)E. Donc, L / (2pi) = R+(N-1)E. D'où, N = ((L/(2pi) - R) / E ) + 1 (Encadrez le en rouge les enfants. RSL, pourquoi tu rigoles? Mais t'es fou RSL!)
Maintenant, passons à l'expérimentation. (Phase très importante pour tout savant fou qui se respecte un tant soit peu). Prenons un rouleau type, de marque Lotus de couleur verte non parfumé (entamé... et c'est là le problème). R=4,5cm, E=0,01cm et L=400cm. On obtient approximativement 6000 tours de PQ. Tout à fait mes amis, pas 3000, pas 5000 mais 6000 tours de PQ.
Passons aux choses pratiques. Avec 6000 tours de PQ, combien de fois je peux me torcher le cul (cas d'un individus mâle)? Si on émet l'hypothèse qu'un tour est suffisant pour un passage pour se torcher, et qu'il faut 4 à 8 passages, suivant la texture de ce qu'il y a à torcher, pour être à peu près propre (donc 6 passages en moyenne non pondérée, car tout dépend si l'individu test chie plutôt dur ou plutôt mou). Nous avons donc 6 tours pour un torchage. On peut donc se torcher 1000 fois avec 1 rouleau!!! Là où le bât blesse, c'est quand on constate que si on va chier 3,5 fois par semaine, le rouleau nous dure 5 ans et demi!! Doit y avoir une erreur quelque part ... Hum ... Reprenons ... Bon, si on dit plutôt qu'il faut 3 tours pour un passage au lieu d'un seul, le rouleau nous durera alors un peu moins de 2 ans. On peut donc supposer plusieurs choses : soit je suis complètement bourré avec ma Pelfort ambrée, soit je suis complètement débile, soit mes approximations d'épaisseur et de longueur de PQ sont complètement foireuses. C'est au choix, mais ils peuvent se cumuler aussi...
Pour finir, je dirai, pour répondre à la question de RSL, de savoir si on se faisait pas entuber sur la longueur des rouleaux de PQ, mon avis est que quand on achète un PQ de plus forte épaisseur et avec un carton plus grand, on l'a dans le cul. Mais, faut avouer qu'y a pas besoin de tous ces calculs de merde mais surtout de bons sens pour trouver ce que je viens de conclure pitoyablement. Donc, sur ce, mes amis, je vais me coucher. A bons roupilleurs, Salut!!!!
Amis PQologues, bien le bonjour.
Puisqu'il n'est manisfestement pas possible de raisonner sur ce sujet (je parle bien évidemment de la formulation mathématique de l'enroulement du PQ autour de son rouleau de carton) en étant dans un état psycho-physiologique normal, je profiterai donc de mon ingestion massive de corticoïdes associés à du diantalvic et d'antibiotiques aux modes d'administration les plus variés supposés régler efficacement mes troubles auriculaires passagers (je le souhaite), pour apporter un certains nombres de correctifs et éléments supplémentaires quant aux tentatives de mise en équation, qui du reste ne semblent interresser qu'une minorité trés restreinte d'entre nous (je veux parler du tech-plombier, de l'ingé-informaticien, et moi-même) sans pour autant suspecter un total désintérêt sinon dépassement des autres, bien que je soit intimement persuadé de la bonne volonté dont doit faire preuve en ce moment notre germano-ingé-matériaux pour affiner de manière trés pertinente l'approximation faite sur le premier essai de mise en équation....
Je commencerais donc par analyser la résolution du problème sous forme d'une suite arithmétique proposée par mon cher collègue montpellierain. La tentative est ma foi fort intéressante et c'est d'ailleurs dans ce mode de résolution que je me suis moi-même lancé au commencement. Malheureusement elle ne fut menée qu'incomplètement, puisque l'individu sus-nommé ne résolva que le dernier terme de la suite arithmétique, soit le dernier tour de PQ. Grave manquement de professionnalisme. En effet, il apparaît alors tout à fait logique, dans l'application numérique qu'il en fut faite, il faille de l'ordre de 6000 tours, à partir d'un rouleau de carton de 3.5 cm de diamètre, pour que le dernier tour fasse 4 m de long.... Cette réponse, et personne ne doit en être dupe, ne répond donc pas au problème posé. La longueur totale de PQ est la somme de la longueur de chaque tour, et il s'agit de résoudre cette suite arithmétique (somme de n=1 à n=ce qu'on cherche) ce qui va au delà de mes compétences actuelles d'hydrogéologue modélisateur.
En outre, ma première proposition s'attachait à exposer une formulation exprimant la longueur totale de PQ fonction polynôme de second degré du nombre de tour, soit :
L = 2.pi.e.n² + 2.pi.R.n avecBien entendu, comme l'a trés justement fait remarquer notre respectable ingénieur informaticien, la demande formulée par le métallophile tech-plombier est d'exprimer n en fonction de L, et non l'inverse. C'est pourquoi ma proposition invitait nos chers collègues ingénieurs à résoudre ce polynôme, ce qui est, chacun me le concèdera, un véritable cadeau. Face à ce second manquement de notre élite professionnelle, je me doit donc de poursuivre cette résolution. Reprenons donc :
L = 2.pi.e.n² + 2.pi.R.n avecIl s'agit d'un polynôme de degré 2 de la forme : a.x² + b.x + c = 0. Le calcul du discréminant en donne une valeur positive impliquant deux racines à notre équation. Aprés exclusion de la solution absurde, on obtient l'expression suivante:
n = racine(R²/e + L/(2pi)) + R/(2e)Appliquons-y maintenant les paramètres réels
utilisés par notre a(l)ccolite précédent
soit :
R=4,5cm
e=0,01cm
L=400cm
On arrive ainsi à 21O tours nécessaires pour enrouler
une longueur de 4 m, ce qui reste cohérent.
Pour
R=2cm (ce qui correspond à la plupart des cas réels)
e=0,01cm
L=400cm
On obtient 121 tours de PQ.
Or, malheureusement ces deux applications pratiques révèlent un sévère dysfonctionnement de notre équation. En effet l'on ne devrait pas obtenir, pour une même longueur totale, moins de tours avec un plus faible diamètre... J'émettrais alors deux suggestions:
Concernant le nombre de fois que l'on peux se torcher le cul, cette question n'est ici pas adaptée puisque celà ne dépend pas du nombre de tours (de longueurs variables), mais plutôt de la longueur de PQ que l'on utilise à chaque fois, ce qui est en principe une fraction de la longueur totale du rouleau.... et bien sûr éminemment variable suivant les individus. Je n'exposerai pas mon cas en cette période de consommation de corticoïdes...
Bien, cher collègues PQologues, dans l'excitante attente d'éléments nouveaux...
Hygiéniquement, Géoman.Chers Amis ex-chaptaliens et autres
Voici un bon moment que je n ai pas fait entendre parler de moi et ma participation aux grandes et profondes questions s'en est trouvée quasi nulle.
Je vous envoie ce courier électronique pour vous faire part de l'avancement de mes investigations concernant le probleme de la mise en equation. En effet apres avoir lu avec beaucoup d'attention les deux premiers communiqués, il etait grand temps que j'ajoute également ma participation à ce probleme qui nous concerne tous, à savoir le nombre de tours de PQ autour d'un rouleau cartonné qu'il est possible de faire à partir d'une longueur donnée. Soit pour simplifier la formulation (et pour des commodités d'écriture) la fonction f qui relie L à n (en prenant les mêmes conventions d'écriture que dans les formulations precedentes). Je vais donc commencer mon exposé par une formulation pas a pas :
J'en viens donc à vous rappeler l'expression de la somme des nombres de 1 à n : n(n+1)/2 puisqu'il s'agit d'une suite arithmétique de raison 1. Je vous invite à verifier par vous-même. (ou à vous replonger dans les cours de notre cher Professeur de Mathématiques de Première S)
Au nième tour nous avons donc :Voici donc l'expression de L en fonction de n : L = 2*pi*(nR+e((n(n+1))/2)), soit : pi*e*n^2 + n*pi*(e*2*R) - L = 0
C'est maintenant que la résolution commence, il s'agit d'un polynome de degré 2, son déterminant vaut (pi*(e+2R))² + 4*L*pi*e. Celui-ci est positif, nous avons donc deux solutions réelles qui sont :
La solution x2 étant négative, elle est par consequent laissée de côté. La solution finale est donc x1. Passons maintenant à quelques applications numeriques :
On arrive à 13,91 tours soit un rayon total (rouleau + papier) de 4,64 cm, ce qui me semble raisonnable. Pour confirmer ce résultat je me réfère à la seconde application numérique proposée par notre plus fervent calculateur, mon collègue l'hydrogéologue :
PourOn obtient cette fois ci n = 29,54 tours de PQ, ce qui est raisonnable puisque ça représente un rayon total de 2,3 cm. Enfin pour vous convaicre de ma démonstration je vais vous proposer une dernière application numérique. Elle est issue d'un cas pratique tiré des WC de LZH :
Ce qui nous donne environ 400 tours et donc une longueur de PQ de environ 100m et ceci me parait vraiment raisonnable. Mes chers Amis, si cette démonstration ne vous a pas convaincus malgré tout, je vous invite d'une part à corriger les éventuelles fautes qui auraient pu se glisser dans mon raisonnement ou bien de retourner assiter à quelques cours de notre cher Professeur Mr P...
Bon torchage, A+
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